设平面四边形 $ABCD$ 的四边长为 $4$ 个连续的正整数，求证：四边形 $ABCD$ 的面积的最大值不是整数．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
不妨设 $ABCD$ 是凸四边形，其面积为 $S$，记 $a=AB,b=BC,c=CD,d=DA$．
由$$\begin{cases}S=\dfrac12ab\sin B+\dfrac12cd\sin D,\\AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd\cos D,\end{cases}$$可得$$\begin{cases}2S=ab\sin B+cd\sin D,\\ \dfrac12(a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd\cos D,\end{cases}$$从而\[\begin{split}4S^2&=(ab)^2+(cd)^2-2abcd\cos(B+D)-\dfrac14(a^2+b^2-c^2-d^2)\\&\leqslant(ab+cd)^2-\dfrac14(a^2+b^2-c^2-d^2)\\&=\dfrac14(b+c+d-a)(a+c+d-b)(a+b+d-c)(a+b+c-d),\end{split}\]等号成立当且仅当 $B+D=\pi$，即 $A,B,C,D$ 四点共圆．
由题设 $\{a,b,c,d\}$ 为 $4$ 个连续的正整数 $\{n,n+1,n+2,n+3\}$，从而 $S$ 的最大值$$M=\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}.$$因为$$n^2+3n<M<n^2+3n+1,$$所以 $M$ 不是整数．
由$$\begin{cases}S=\dfrac12ab\sin B+\dfrac12cd\sin D,\\AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B=c^2+d^2-2cd\cos D,\end{cases}$$可得$$\begin{cases}2S=ab\sin B+cd\sin D,\\ \dfrac12(a^2+b^2-c^2-d^2)=ab\cos B-cd\cos D,\end{cases}$$从而\[\begin{split}4S^2&=(ab)^2+(cd)^2-2abcd\cos(B+D)-\dfrac14(a^2+b^2-c^2-d^2)\\&\leqslant(ab+cd)^2-\dfrac14(a^2+b^2-c^2-d^2)\\&=\dfrac14(b+c+d-a)(a+c+d-b)(a+b+d-c)(a+b+c-d),\end{split}\]等号成立当且仅当 $B+D=\pi$，即 $A,B,C,D$ 四点共圆．
由题设 $\{a,b,c,d\}$ 为 $4$ 个连续的正整数 $\{n,n+1,n+2,n+3\}$，从而 $S$ 的最大值$$M=\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}.$$因为$$n^2+3n<M<n^2+3n+1,$$所以 $M$ 不是整数．
答案
解析
备注
