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已知 $a,b\in \mathbb R$，函数 $f(x)=a\cos x+b\cos 2x$（$x\in\mathbb R$）的最小值为 $-1$，则 \((\qquad)\)
A: $a+b$ 的最小值为 $1$，此时 $(a,b)=\left(\dfrac 13,\dfrac 23\right)$
B: $a+b$ 的最大值为 $2$，此时 $(a,b)=\left(\dfrac 43,\dfrac 23\right)$
C: $a+b$ 的最小值为 $1$，此时 $(a,b)=\left(\dfrac 23,\dfrac 13\right)$
D: $a+b$ 的最大值为 $2$，此时 $(a,b)=\left(\dfrac 23,\dfrac 43\right)$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 方法
    >
    思考方式
    >
    必要条件探路
  • 题型
    >
    不等式
    >
    恒成立与存在性问题
  • 题型
    >
    不等式
    >
    求代数式的最值与范围
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[\forall x\in \mathbb R,a\cos x+b\cos 2x\geqslant -1,\]令\[\cos x=\cos 2x,\]即\[\left(\cos x=-\dfrac 12\right)\lor\left(\cos x =1\right)\]可得\[-1\leqslant a+b\leqslant 2.\]考虑到\[a\cos x+b\cos 2x+1=2b\cos^2x+a\cos x-b+1,\]其关于 $\cos x$ 的判别式\[\Delta=a^2-8b(1-b).\]分别将 $a+b=-1$ 与 $a+b=2$ 与 $\Delta=0$ 联立，可得当\[(a,b)=\left(-\dfrac 43,\dfrac 13\right)\]时，$a+b=-1$；当\[(a,b)=\left(\dfrac 43,\dfrac 23\right)\]时，$a+b=2$，因此 $a+b$ 的最小值为 $-1$，最大值为 $2$．
题目 答案 解析 备注
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