设 $0<\alpha <\pi$，$\pi<\beta <2\pi$，若对任意的 $x\in \mathbb R$，等式$$\cos(x+\alpha)+\sin(x+\beta)+\sqrt 2 \cos x=0$$恒成立，试求 $\alpha ,\beta$ 的值．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
$\alpha=\dfrac{3\pi}{4},\beta=\dfrac{7\pi}{4}$
【解析】
已知等式可化为$$(\cos \alpha +\sin \beta +\sqrt 2)\cos x+(\cos \beta -\sin \alpha )\sin x=0.$$上式对任意的 $x\in \mathbb R$ 恒成立的充要条件为$$\begin{cases}\cos \alpha +\sin \beta +\sqrt 2=0,\\ \cos \beta -\sin \alpha =0,\end{cases}$$即$$\begin{cases}\sin \beta =-\cos \alpha -\sqrt 2,\\ \cos \beta =\sin \alpha,\end{cases}$$平方相加，得$$(-\cos \alpha -\sqrt 2)^2+\sin ^2 \alpha =1,$$解得 $\cos \alpha =-\dfrac{\sqrt 2}{2}$．
又因为 $\pi<\beta <2\pi$，所以 $\beta =\dfrac{7\pi}{4}$．
又因为 $\pi<\beta <2\pi$，所以 $\beta =\dfrac{7\pi}{4}$．
答案
解析
备注
