已知 $a$，$b$，$c$ 是 $\mathrm {Rt}ABC$ 的三边，$c$ 为斜边，若 $y=\dfrac {a^3+b^3+c^3}{c(a+b+c)^2}$，求 $y$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
$\left[1-\dfrac {\sqrt 2}{2},\dfrac 12\right)$
【解析】
因为 $a$，$b$，$c$ 是 $\mathrm {Rt}\triangle ABC$ 的三边，$c$ 为斜边，所以$$a^2+b^2=c^2.$$令$$\begin{cases}a=c\cos \theta ,\\ b=c\sin \theta,\end{cases}$$其中 $\left(0<\theta <\dfrac {\pi}{2}\right)$，所以\[\begin{split}y&=\dfrac {c^3\cos ^3\theta+c^3\sin ^3\theta+c^3}{c(c\cos\theta+c\sin\theta+c)^2}\\&=\dfrac {\cos ^3\theta+\sin ^3\theta+1}{(\cos \theta+\sin \theta +1)^2}\\&=\dfrac {(\cos \theta+\sin \theta)(1- \cos \theta \cdot \sin \theta)+1}{(\cos \theta+\sin \theta +1)^2}.\end{split}\]令 $x= \cos \theta+\sin \theta$．
因为 $0<\theta <\dfrac {\pi}{2}$，所以$$x=\cos \theta+\sin \theta=\sqrt 2 \sin \left(\theta +\dfrac {\pi}{4}\right) \in (1,\sqrt 2].$$又$$\cos \theta \cdot \sin \theta=\dfrac {x^2-1}{2},$$于是\[\begin{split}y&=\dfrac {x\left(1-\dfrac {x^2-1}{2}\right)+1}{(x+1)^2}\\&=\dfrac {2+3x-x^3}{2(x+1)^2}\\&=\dfrac {(2+ x-x^2)(x+1)}{2(x+1)^2}\\&=\dfrac {(2-x)(x+1)}{2(x+1)}\\&=1-\dfrac 12x,\end{split}\]显然 $y=1-\dfrac 12x$ 在 $x\in (1,\sqrt 2]$ 上是减函数，所以$$y\in \left[1-\dfrac {\sqrt 2}{2},\dfrac 12\right),$$此即为 $y$ 的取值范围．
因为 $0<\theta <\dfrac {\pi}{2}$，所以$$x=\cos \theta+\sin \theta=\sqrt 2 \sin \left(\theta +\dfrac {\pi}{4}\right) \in (1,\sqrt 2].$$又$$\cos \theta \cdot \sin \theta=\dfrac {x^2-1}{2},$$于是\[\begin{split}y&=\dfrac {x\left(1-\dfrac {x^2-1}{2}\right)+1}{(x+1)^2}\\&=\dfrac {2+3x-x^3}{2(x+1)^2}\\&=\dfrac {(2+ x-x^2)(x+1)}{2(x+1)^2}\\&=\dfrac {(2-x)(x+1)}{2(x+1)}\\&=1-\dfrac 12x,\end{split}\]显然 $y=1-\dfrac 12x$ 在 $x\in (1,\sqrt 2]$ 上是减函数，所以$$y\in \left[1-\dfrac {\sqrt 2}{2},\dfrac 12\right),$$此即为 $y$ 的取值范围．
答案
解析
备注
