记 $\cos\dfrac{k\pi}{9}=x_k$，其中 $k\in\mathbb N$．由于\[A=x_1+x_5+x_7=2x_2\cdot x_3+x_7=0,\]又\[B=x_1x_5+x_5x_7+x_7x_1=\dfrac 12(x_4+x_6+x_2+x_{12}+x_6+x_8)=-\dfrac 34,\]以及\[C=x_1\cdot x_5\cdot x_7=-x_2\cdot x_4\cdot x_8=-\dfrac{\sin\dfrac{16\pi}9}{8\sin\dfrac{2\pi}9}=\dfrac 18.\]因此 $\cos\dfrac{\pi}9,\cos\dfrac{5\pi}9,\cos\dfrac{7\pi}9$ 是关于 $x$ 的方程\[x^3-\dfrac 34x-\dfrac 18=0\]的三个实根，从而\[x^5=x^2\left(\dfrac 34x+\dfrac 18\right)=\dfrac 18x^2+\dfrac{9}{16}x+\dfrac 3{32},\]因此\[x_1^5+x_3^5+x_5^5=\dfrac 18(A^2-2B)+\dfrac 9{16}A+\dfrac{9}{32}=\dfrac{15}{32}.\]