设 $a,b\in\mathbb R$，函数 $f(x)=ax^2+b(x+1)-2$．若对任意实数 $b$，方程 $f(x)=x$ 有两个相异的实根，求实数 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
【答案】
$(0,1)$
【解析】
因为方程 $ax^2+(b-1)x+b-2=0$ 有两个相异的实数根，所以$$\begin{cases}a\ne0,\\ \Delta_x=(b-1)^2=4a(b-2)>0,\end{cases}$$即$$\begin{cases}a\ne0,\\b^2-2(1+2a)b+8a+1>0,\end{cases}$$对任意实数 $b$ 恒成立，所以$$\begin{cases}a\ne0,\\ \Delta_b=4(1+2a)^2-4(8a+1)<0,\end{cases}$$解得 $0<a<1$．
答案
解析
备注
