定义在集合 $A$ 上的函数 $f(x)$ 满足：对任意的 $x_1,x_2\in A$，都有$$f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\leqslant \dfrac {f(x_1)+f(x_2)}2,$$则称函数 $f(x)$ 是 $A$ 上的凹函数．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛吉林省预赛
【标注】
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试判断 $f(x)=3x^2+x$ 是否是 $\mathbb R$ 上的凹函数？标注答案$f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的凹函数解析因为\[\begin{split}f(x_1)&= 3x_1^2+x_1,\\f(x_2)&=3x_2^2+x_2,\\f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)&=3\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^2+\dfrac{x_1+x_2}{2},\end{split}\]所以\[\begin{split}f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)-\dfrac {f(x_1)+f(x_2)}2 &=3\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^2+\dfrac{x_1+x_2}{2}-\dfrac 12 (3x_1^2+x_1+3x_2^2+x_2)\\&=-3\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2\\&\leqslant 0,\end{split}\]即$$f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\leqslant \dfrac {f(x_1)+f(x_2)}2,$$所以 $f(x)=3x^2+x$ 是 $\mathbb R$ 上的凹函数．
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若函数 $f(x)=mx^2+x$ 是 $\mathbb R$ 上的凹函数，求实数 $m$ 的取值范围．标注答案$[0,+\infty)$解析因函数 $f(x)=mx^2+x$ 是 $\mathbb R$ 上的凹函数，所以$$f\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)\leqslant \dfrac {f(x_1)+f(x_2)}2,$$即当 $x_1,x_2 \in \mathbb R$ 时，有$$m\left(\dfrac{x_1+x_2}{2}\right)^2+\dfrac{x_1+x_2}{2}\leqslant \dfrac 12 (mx_1^2+x_1+mx_2^2+x_2)$$恒成立，即$$m\left(\dfrac{x_1-x_2}{2}\right)^2\geqslant 0,$$所以 $m\geqslant 0$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
