设函数 $f(x)=a_1\sin x+a_2\sin 2x+\cdots +a_n\sin nx$，其中 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb R$，$n\in\mathbb N^*$，且对一切 $x\in \mathbb R$，有 $|f(x)|\leqslant |\sin x|$，求证：$|a_1+2a_2+\cdots +na_n|\leqslant 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
根据题意，有$$|a_1+2a_2+\cdots +na_n|=\left|f'(0)\right|=\left|\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}\right|=\lim_{\Delta x\to 0}\left|\dfrac{f(\Delta x)}{\Delta x}\right|\leqslant \lim_{\Delta x\to 0}\left|\dfrac{\sin \Delta x}{\Delta x}\right|=1,$$因此原命题得证．
答案
解析
备注
