查看数据源：5a3df6d8fab7080008a76a2e
有一种品酒师测试方法，将 $4$ 瓶外观相同，品质不同的酒让品酒师品尝，要求按品质优劣将 $4$ 种酒排序．经过一段时间，等其记忆淡忘之后，后再让其品尝 $4$ 瓶酒，并让他重新按品质优劣将 $4$ 种酒排序．根据测试中两次排序的偏离程度评估品酒师．记 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 表示第一次排序为 $1,2,3,4$ 的四种酒在第二次排序中的序号，记\[X=|1-a_1|+|2-a_2|+|3-a_3|+|4-a_4|\]为其偏离程度．假设 $a_1,a_2,a_3,a_4$ 等可能的为 $1,2,3,4$ 的各种排列，$p_1$ 表示在 $1$ 轮测试中 $X\leqslant 2$ 的概率，$p_2$ 表示在相继进行的 $3$ 轮测试中均有 $X\leqslant 2$ 的概率，则 \((\qquad)\)
A: $p_1\leqslant \dfrac 16$
B: $p_2\leqslant \dfrac{5}{1000}$
C: $p_1>\dfrac 16$
D: $p_2>\dfrac{5}{1000}$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 题型
    >
    计数与概率
    >
    概率计算题
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    随机事件的概率
    >
    古典概型
【答案】
AB
【解析】
当 $X\leqslant 2$ 时，$|k-a_k|$（$k=1,2,3,4$）中 $4$ 个均为 $0$ 或者 $2$ 个为 $0$ 且 $2$ 个为 $1$，于是可能的排列有\[\begin{split} (1,2,3,4),\\(2,1,3,4),\\ (1,3,2,4),\\ (1,2,4,3),\end{split}\]因此\[p_1=\dfrac {4}{4!}=\dfrac 16,\]进而\[p_2=\left(\dfrac 16\right)^3=\dfrac{1}{216}=\dfrac{5}{1080}<\dfrac{5}{1000}.\]
题目 答案 解析 备注
0.156682s