设函数 $f(x)=ax+\dfrac{1}{x+b}$（$a,b\in\mathbb Z$），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(2,f(2))$ 处的切线方程为 $y=3$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $f(x)$ 的解析式；标注答案$f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}$解析可以利用切线的方程得到方程组$$\begin{cases} 2a+\dfrac{1}{2+b}=3,\\ a-\dfrac{1}{(2+b)^2}=0,\end{cases}$$也可以利用对勾函数的图象与性质得到方程组$$\begin{cases} 2a+\dfrac{1}{2+b}=3,\\ 2+b=\sqrt{\dfrac 1a},\end{cases} $$解得 $a=1$，$b=-1$，于是 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}$；
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证明：曲线 $y=f(x)$ 是一个中心对称图形，并求其对称中心；标注答案略解析由于对勾函数的图象与性质，可得对称中心为 $(1,1$），因此证明 $f(1+x)+f(1-x)=2$ 即可；
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证明：曲线 $y=f(x)$ 上任一点的切线与直线 $x=1$ 和直线 $y=x$ 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．标注答案略解析如图．设切点 $T$ 的横坐标为 $t$，则$$AB:y=m+\dfrac{1}{m-1}+\left[1-\dfrac{1}{(m-1)^2}\right]\cdot (x-m),$$即$$AB:y=\dfrac{m^2-2m}{(m-1)^2}\cdot x+\dfrac{2m-1}{(m-1)^2},$$于是 $A\left(1,\dfrac{m+1}{m-1}\right)$，$B(2m-1,2m-1)$，从而 $\triangle PAB$ 的面积\[\begin{split} S&=\dfrac 12\sin 45^\circ\cdot |PA|\cdot |PB|\\
&=\dfrac{\sqrt 2}4\cdot \left|\dfrac{m+1}{m-1}-1\right|\cdot \sqrt{1+1^2}\cdot \left|(2m-1)-1\right|\\
&=2,\end{split} \]为定值，因此原命题得证．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
