题目 设 $l$ 为曲线 $C:y=\dfrac{\ln{x}}{x}$ 在点 $(1,0)$ 处的切线． 问题1 求 $l$ 的方程； 答案1 $l$ 的方程为 $y=x-1$ 解析1 因为$$ y'=\dfrac {1-\ln x}{x^2},$$所以 $l$ 的斜率为$$y|_{x=1}=1,$$故 $l$ 的方程为 $y=x-1$． 备注1 问题2 证明：除切点 $(1,0)$ 之外，曲线 $C$ 在直线 $l$ 的下方． 答案2 略 解析2 即证明 $\dfrac {\ln x}{x}\leqslant x-1$，等号当且仅当 $x=1$ 时取得．<br/>设 $f(x)=x-1-\dfrac{\ln{x}}{x}$，$x>0$．<br/>因为$$f'(x)=\dfrac {x^2+\ln x-1}{x^2},$$令 $g(x)=x^2+\ln x-1$，则$$g'(x)=2x+\dfrac 1x>0,$$所以 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减，在 $(1,+\infty)$ 上单调递增，故$$f(x)\geqslant f(1)=0.$$因此，当 $x\ne 1$ 时，$f(x)>0$ 恒成立，命题得证． 备注2