函数 $f(x)$ 的导函数为\[f'(x)=1+\ln x,\]因此 $f(x)$ 在 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上单调递减，在 $\left(\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$ 上单调递增，且\[0<x_1<\dfrac{1}{\rm e}<x_2,\]其二阶导函数为\[f''(x)=\dfrac 1x,\]考虑函数\[g(x)=f(x)-f\left(\dfrac{2}{\rm e}-x\right),0<x<\dfrac{1}{\rm e},\]其二阶导函数\[g''(x)=f''(x)-f''\left(\dfrac{2}{\rm e}-x\right)>0,\]结合\[g''\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=g'\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=g\left(\dfrac{1}{\rm e}\right)=0,\]可得在 $\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$ 上 $g(x)>0$，于是\[f(x_2)=f(x_1)>f\left(\dfrac{2}{\rm e}-x_1\right),\]于是\[x_2>\dfrac{2}{\rm e}-x_1,\]从而\[x_1+x_2>\dfrac{2}{\rm e}.\]类似的，考虑函数\[h(x)=x{\rm e}^x,\]其导函数\[h'(x)={\rm e}^x(x+1),\]其二阶导函数\[h''(x)={\rm e}^x(x+2),\]于是可得\[\ln x_1+\ln x_2<-2,\]即\[\sqrt{x_1x_2}<\dfrac{1}{\rm e}.\]