设长方体的长、宽、高分别为 $a,b,c$，其体对角线长为 $l$，试证：$$\left(l^4-a^4\right)\left(l^4-b^4\right)\left(l^4-c^4\right)\geqslant 512a^4b^4c^4.$$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $x=\dfrac{a^2}{l^2}$，$y=\dfrac{b^2}{l^2}$，$z=\dfrac{c^2}{l^2}$，则$$x+y+z=1.$$原不等式等价于$$\left(\dfrac{1}{x^2}-1\right)\left(\dfrac{1}{y^2}-1\right)\left(\dfrac{1}{z^2}-1\right)\geqslant 512,$$而$$\begin{split}\dfrac{1}{x^2}-1&=\dfrac{(1-x)(1+x)}{x^2}\\&=\dfrac{(y+z)(x+x+y+z)}{x^2}\\&\geqslant \dfrac{2\sqrt{yz}\cdot 4\sqrt[4]{x^2yz}}{x^2},\end{split}$$类似得到$$\begin{split}\dfrac {1}{y^2}-1\geqslant \dfrac {2\sqrt {xz}\cdot 4\sqrt[4]{xy^2z}}{y^2},\\\dfrac {1}{z^2}-1\geqslant \dfrac {2\sqrt {xy}\cdot 4\sqrt[4]{xyz^2}}{z^2},\end{split}$$相乘即得证．
答案
解析
备注
