设 $a,b,c,d,e,f$ 为实数，且 $ax^2+bx+c\geqslant |dx^2+ex+f|$ 对任意实数 $x$ 成立，证明：$4ac-b^2\geqslant |4df-e^2|$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛天津市预赛
【标注】
【答案】
略
【解析】
若 $a=0$，则 $b=0,d=0,e=0$，结论显然成立；
当 $a\ne 0$ 时，由于$$ax^2+bx+c\geqslant 0,$$因此$$a>0,b^2-4ac\leqslant 0.$$进一步，不妨设 $d>0$，则由$$ax^2+bx+c\geqslant dx^2+ex+f$$可知 $a\geqslant d>0$．
记 $g(x)=dx^2+ex+f$，我们分两种情况讨论：
情形一 若 $e^2-4df>0$，则由$$ax^2+bx+c\geqslant |g(x)|,$$可得$$ax^2+bx+c\pm(dx^2+ex+f)\geqslant 0,$$因此\[\begin{split}&(b+e)^2-4(a+d)(c+f)\leqslant 0,\\ &(b-e)^2-4(a-d)(c-f)\leqslant 0,\end{split}\]这两式相加得$$(b^2-4ac)+(e^2-4df)\leqslant 0,$$因此这时有$$4ac-b^2\geqslant |4df-e^2|.$$情形二 若 $e^2-4df\leqslant 0$，则 $g(x)\geqslant 0$，且 $g(x)$ 的最小值为 $\dfrac{4df-e^2}{4d}$，
在已知条件中取 $x=-\dfrac{b}{2a} $，则得到$$\dfrac{4ac-b^2}{4a}\geqslant g\left(-\dfrac b{2a}\right)\geqslant \dfrac{4df-e^2}{4d}.$$因此$$4ac-b^2\geqslant 4df-e^2,$$即$$4ac-b^2\geqslant |4df-e^2|.$$
当 $a\ne 0$ 时，由于$$ax^2+bx+c\geqslant 0,$$因此$$a>0,b^2-4ac\leqslant 0.$$进一步，不妨设 $d>0$，则由$$ax^2+bx+c\geqslant dx^2+ex+f$$可知 $a\geqslant d>0$．
记 $g(x)=dx^2+ex+f$，我们分两种情况讨论：
在已知条件中取 $x=-\dfrac{b}{2a} $，则得到$$\dfrac{4ac-b^2}{4a}\geqslant g\left(-\dfrac b{2a}\right)\geqslant \dfrac{4df-e^2}{4d}.$$因此$$4ac-b^2\geqslant 4df-e^2,$$即$$4ac-b^2\geqslant |4df-e^2|.$$
答案
解析
备注
