已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$，求证：$\displaystyle \prod\limits_{cyc}\left(a-1+\dfrac 1b\right)\leqslant 1$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
令 $a=\dfrac xy$，$b=\dfrac yz$，$c=\dfrac zx$，则只需要证明$$(x-y+z)(x+y-z)(-x+y+z)\leqslant xyz.$$再作换元，令 $A=-x+y+z$，$B=x-y+z$，$C=x+y-z$，只需要证明$$ABC\leqslant\dfrac{A+B}2\cdot\dfrac{B+C}2\cdot\dfrac{C+A}2,$$事实上，由均值不等式，上式显然成立，因此原命题得证．
答案
解析
备注
