求函数 $f(x)=\ln x+(x-a)^2,a\in \mathbb R$ 的极值点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
当 $a\leqslant \sqrt 2$ 时，函数 $f(x)$ 没有极值点；
当 $a>\sqrt 2$ 时，$x=\dfrac{a-\sqrt{a^2-2}}{2}$ 是 $f(x)$ 的极大值点；$x=\dfrac{a+\sqrt{a^2-2}}{2}$ 是 $f(x)$ 的极小值点
当 $a>\sqrt 2$ 时，$x=\dfrac{a-\sqrt{a^2-2}}{2}$ 是 $f(x)$ 的极大值点；$x=\dfrac{a+\sqrt{a^2-2}}{2}$ 是 $f(x)$ 的极小值点
【解析】
函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=\dfrac 1x+2x-2a,$$于是考虑直线 $y=a$ 与函数 $\varphi(x)=x+\dfrac{1}{2x}$ 的图象的公共点．
因为$$\varphi (x)=x+\dfrac {1}{2x}\geqslant \sqrt 2,$$所以
情形一 当 $a\leqslant \sqrt 2$ 时，函数 $f(x)$ 没有极值点；
情形二 当 $a>\sqrt 2$ 时，$x=\dfrac{a-\sqrt{a^2-2}}{2}$ 是 $f(x)$ 的极大值点；$x=\dfrac{a+\sqrt{a^2-2}}{2}$ 是 $f(x)$ 的极小值点．
因为$$\varphi (x)=x+\dfrac {1}{2x}\geqslant \sqrt 2,$$所以
答案
解析
备注
