已知 $abc=1$，且 $\begin{cases}\dfrac{by}{z}+\dfrac{cz}y=a,\\\dfrac{cz}{x}+\dfrac{ax}z=b,\\\dfrac{ax}y+\dfrac{by}x=c.\end{cases}$ 求 $a^3+b^3+c^3$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
注意到\[\begin{split} a^3+b^3+c^3&=\sum_{cyc}a\left(\dfrac{by}z+\dfrac{cz}y\right)^2\\ &=\left(\dfrac{by}z+\dfrac{cz}y\right)\left(\dfrac{cz}x+\dfrac{ax}z\right)\left(\dfrac{ax}y+\dfrac{by}x\right)+4abc \\ &=5abc,\end{split} \]因此$$a^3+b^3+c^3=5.$$
答案
解析
备注
