已知函数 $f(x)=\left(1-\dfrac ax\right){\rm e}^x$（$x>0$）存在一个极大值点和一个极小值点，且极大值与极小值的积为 $\rm e^{5}$，求 $a$ 的值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$5$
【解析】
两个极值点 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程$$x^2-ax+a=0$$的两根，所以$$x_1+x_2=a,x_1\cdot x_2=a,$$于是$$\begin{split}f(x_1)\cdot f(x_2)&=\left(1-\dfrac a{x_1}\right)\cdot {\rm e}^{x_1}\cdot \left(1-\dfrac{a}{x_2}\right)\cdot {\rm e}^{x_2}\\&=\dfrac{x_1x_2-a\left(x_1+x_2\right)+a^2}{x_1x_2}\cdot {\rm e}^{x_1+x_2}\\&={\rm e}^a={\rm e}^5,\end{split}$$故 $a=5$．
答案
解析
备注
