已知函数 $f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$ 在 $(2,3)$ 中至少有一个极值点，求 $a$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 54,\dfrac 53\right)$
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3\left(x^2-2ax+1\right),$$所以函数 $\varphi(x)=x+\dfrac 1x$ 与直线 $y=2a$ 在 $(2,3)$ 内至少有一个交点．
当 $2<x<3$ 时，$$\dfrac 52<\varphi(x)<\dfrac {10}{3},$$所以$$\dfrac 52<2a<\dfrac {10}{3},$$解得 $\dfrac 54<a<\dfrac 53$．
当 $2<x<3$ 时，$$\dfrac 52<\varphi(x)<\dfrac {10}{3},$$所以$$\dfrac 52<2a<\dfrac {10}{3},$$解得 $\dfrac 54<a<\dfrac 53$．
答案
解析
备注
