有 $10$ 场百米比赛，冠军的成绩分别是 $9$ 秒，$9.1$ 秒，$9.2$ 秒，$9.3$ 秒，$\cdots$，$9.9$ 秒，但顺序随机．若原记录是 $10$ 秒，问平均有多少场比赛打破了记录（精确到 $0.1$）？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$2.9$
【解析】
分别考虑成绩为 $9$ 秒，$9.1$ 秒，$9.2$ 秒，$9.3$ 秒，…，$9.9$ 秒破记录的数学期望．
成绩为 $9$ 秒破记录的数学期望为 $1$．
成绩为 $9.1$ 秒破纪录，即 $9.1$ 秒的成绩出现在 $9$ 秒的成绩之前，其概率为 $\dfrac{1}{2}$，因此数学期望为 $\dfrac{1}{2}$．
成绩为 $9.2$ 秒破纪录，即 $9.2$ 秒的成绩出现在 $9$ 秒和 $9.1$ 秒的成绩之前，其概率为 $\dfrac{{{\rm{A}}_{\rm{2}}^{\rm{2}}}}{{{\rm{A}}_{\rm{3}}^{\rm{3}}}} = \dfrac{1}{3}$，因此数学期望为 $\dfrac{1}{3}$．
……
因此所求期望为$$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{10}} \approx 2.9.$$
成绩为 $9$ 秒破记录的数学期望为 $1$．
成绩为 $9.1$ 秒破纪录，即 $9.1$ 秒的成绩出现在 $9$ 秒的成绩之前，其概率为 $\dfrac{1}{2}$，因此数学期望为 $\dfrac{1}{2}$．
成绩为 $9.2$ 秒破纪录，即 $9.2$ 秒的成绩出现在 $9$ 秒和 $9.1$ 秒的成绩之前，其概率为 $\dfrac{{{\rm{A}}_{\rm{2}}^{\rm{2}}}}{{{\rm{A}}_{\rm{3}}^{\rm{3}}}} = \dfrac{1}{3}$，因此数学期望为 $\dfrac{1}{3}$．
……
因此所求期望为$$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{{10}} \approx 2.9.$$
答案
解析
备注
