解方程组 $\begin{cases}5\left(x+\dfrac 1x\right)=12\left(y+\dfrac 1y\right)=13\left(z+\dfrac 1z\right),\\xy+yz+zx=1.\end{cases}$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right),\left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right)$
【解析】
因为$$xy+yz+zx=1,$$所以$$x=\dfrac{1-yz}{y+z},$$代入第一个方程整理得$$\begin{split}12y^2z+17yz^2=7y+12z,\\18y^2z+13yz^2=13y+8z,\end{split}$$两式相加得$$yz=\dfrac 23,$$于是 $y=\dfrac{2}{3z}$，由此可解得 $z=\pm 1$．
因此$$(x,y,z)=\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right)\lor \left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right).$$
因此$$(x,y,z)=\left(\dfrac 15,\dfrac 23,1\right)\lor \left(-\dfrac 15,-\dfrac 23,-1\right).$$
答案
解析
备注
