已知 $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数，其图象交 $x$ 轴于 $A,B,C$ 三点，若点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$，且 $f(x)$ 在 $[-1,0]$ 和 $[4,5]$ 上有相同的单调性，在 $[0,2]$ 和 $[4,5]$ 上有相反的单调性．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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求 $c$ 的值；标注答案$c=0$解析由题意知 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的极值点，所以$$f'(0)=c=0,$$即 $c=0$．
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在函数 $f(x)$ 的图象上是否存在一点 $M(x_{0},y_{0})$，使得 $f(x)$ 在点 $M$ 处的切线的斜率为 $3b$？若存在，求出点 $M$ 的坐标；若不存在，说明理由．标注答案不存在解析函数 $f(x)$ 的导函数$$f'(x)=3ax^2+2bx,$$根据题意有$$2\leqslant -\dfrac{2b}{3a}\leqslant 4,$$从而 $a,b$ 异号且 $\dfrac ba\in [-6,-3]$．
若存在 $f'(x_0)=3b$，即$$3ax_0^2+2bx_0-3b=0,$$但其判别式$$\Delta=4ab\left(\dfrac ba+9\right)<0,$$矛盾．
因此不存在点 $M(x_{0},y_{0})$，使得 $f(x)$ 在点 $M$ 处的切线斜率为 $3b$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
