在四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，将 $\triangle COD$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转得到 $\triangle C_{1}OD_{1}$，旋转角为 $\theta\left(0^\circ <\theta <90^\circ \right)$，连接 $AC_{1}$，$BD _{1}$，$AC_{1}$ 与 $BD_{1}$ 交于点 $P$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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如图1，若四边形 $ABCD$ 是正方形．
① 求证：$\triangle AOC _{1}\cong \triangle BOD _{1}$．
② 请直接写出 $AC_{1}$ 与 $BD_{1}$ 的位置关系．标注答案① 略；
② $AC_{1}\perp BD_{1}$解析① 因为四边形 $ABCD$ 是正方形，
所以 $ AC=BD$，$OC=OA= \dfrac{1}{2} AC$，$OD=OB= \dfrac{1}{2} BD $，
所以 $OC=OA=OD=OB$．
因为 $ \triangle C_{1}OD_{1}$ 由 $\triangle COD$ 绕点 $O$ 旋转得到，
所以 $ OC_{1}= OC$，$OD_{1}=OD$，$\angle COC_{1}=\angle DOD_{1}$，
所以 $ OC_{1}= OD_{1 }$，$\angle AOC_{1}=\angle BOD_{1}$，
所以 $ \triangle AOC_{1}\cong \triangle BOD_{1} $．
② $AC_{1}\perp BD_{1}$． -
如图 2，若四边形 $ABCD$ 是菱形，$AC=5$，$BD=7$，设 $AC_{1}=k BD_{1}$．判断 $AC_{1}$ 与 $BD_{1}$ 的位置关系，说明理由，并求出 $k$ 的值．标注答案$AC_{1}\perp BD_{1}$解析因为四边形 $ABCD$ 是菱形，
所以 $OC=OA=\dfrac{1}{2}AC$，$OD=OB=\dfrac{1}{2}BD$，$AC\perp BD$．
因为 $ \triangle C_{1}OD_{1}$ 由 $\triangle COD$ 绕点 $O$ 旋转得到，
所以 $ OC_{1}= OC$，$OD_{1}=OD$，$\angle COC_{1}=\angle DOD_{1} $，
所以 $OC_{1}=OA$，$OD_{1}=OB$，$\angle AOC_{1}=\angle BOD_{1}$，
所以 $ \dfrac{{O{C_1}}}{OA} = \dfrac{{O{D_1}}}{OB} $，
所以 $ \dfrac{{O{C_1}}}{{O{D_1}}} = \dfrac{OA}{OB}$，
所以 $\triangle AOC_{1}\backsim \triangle BOD_{1}$，
所以 $ \angle OAC_{1}= \angle OBD_{1}$．
又 $\angle AOB=90^\circ $，
所以 $ \angle OAB+\angle ABP+\angle OBD_{1}=90^\circ $，
所以 $\angle OAB+\angle ABP+\angle OAC_{1}=90^\circ $，
所以 $ \angle APB=90^\circ $，$ AC_{1}\perp BD_{1}$．
因为 $ \triangle AOC_{1}\backsim \triangle BOD_{1}$，
所以 $ \dfrac{{A{C_1}}}{{B{D_1}}} = \dfrac{OA}{OB} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AC}}{{\dfrac{1}{2}BD}} = \dfrac{AC}{BD} = \dfrac{5}{7}$，
所以 $ k = \dfrac{5}{7}$． -
如图 3，若四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AC=5$，$BD=10$，连接 $DD_{1}$，设 $AC_{1}=kBD_{1}$．请直接写出 $k$ 的值和 $AC_1^2+\left(kDD_1\right)^2$ 的值．标注答案$k = \dfrac{1}{2}$；$AC_1^2 + {\left(kD{D_1}\right)^2} = 25$解析略
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
