已知 $a,b,c>0$，求证：$\dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2}\geqslant \dfrac{a+b+c}{3}$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
记原式左边为 $A$，其对偶式$$B=\dfrac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{a^3}{c^2+ca+a^2}.$$因为$$A-B=a-b+b-c+c-a=0,$$所以 $A=B$．
由均值不等式$$a^2-ab+b^2\geqslant \dfrac 13(a^2+ab+b^2),$$于是$$\begin{split}A+B&=(a+b)\cdot\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}+(b+c)\cdot\dfrac{b^2-bc+c^2}{b^2+bc+c^2}+(c+a)\cdot\dfrac{c^2-ca+a^2}{c^2+ca+a^2}\\&\geqslant \dfrac{2(a+b+c)}{3},\end{split}$$故$$A=B\geqslant \dfrac{a+b+c}{3}.$$
由均值不等式$$a^2-ab+b^2\geqslant \dfrac 13(a^2+ab+b^2),$$于是$$\begin{split}A+B&=(a+b)\cdot\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}+(b+c)\cdot\dfrac{b^2-bc+c^2}{b^2+bc+c^2}+(c+a)\cdot\dfrac{c^2-ca+a^2}{c^2+ca+a^2}\\&\geqslant \dfrac{2(a+b+c)}{3},\end{split}$$故$$A=B\geqslant \dfrac{a+b+c}{3}.$$
答案
解析
备注
