题目

北京采用摇号买车的方式．有 $20$ 万人摇号，每个月有 $2$ 万个名额．

【难度】

【出处】

无

【标注】

如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继续进入下月摇号，则平均每个人摇上需要多长时间；
标注
答案

$5.5$

解析

$\dfrac{1}{{10}} \times \left( {1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10} \right) = 5.5$
如果每个月都有 $2$ 万人补充进摇号队伍，则平均每个人摇上需要多长时间；
标注
答案

$10$ 个月

解析

令\[\begin{split}{S_n} &= \dfrac{1}{{10}} \cdot 1 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot 2 + {\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot 3 + \cdots + {\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)^{n - 1}} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot n\\&= \dfrac{1}{{10}}\left[ {1 + \dfrac{9}{{10}} \cdot 2 + {{\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)}^2} \cdot 3 + \cdots + {{\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)}^{n - 1}} \cdot n} \right],\end{split}\]于是由差比数列求和，得 ${S_n} = 10 - \left( {10 + n} \right) \cdot {\left( {\dfrac{9}{{10}}} \right)^n}$，因此 $\lim \limits_{n \to +\infty } {S_n} = 10$，平均每个人摇上需要 $10$ 个月．
如果交管所可以控制摇上号的人的比例，使其成为每个季度第一个月摇上的概率为 $\dfrac{1}{{10}}$，第二个月为 $\dfrac{1}{9}$，第三个月为 $\dfrac{1}{8}$，则平均每个人摇上需要多长时间．
标注
答案

$9$ 个月

解析

$\dfrac{1}{{10}} \cdot 1 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot 2 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1}{8} \cdot 3 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot 4 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot 5 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1}{8} \cdot 6 + \cdots $
令\[\begin{split}{T_n}& = \dfrac{1}{{10}}\left( {1 + 2 + 3} \right) + \dfrac{7}{{10}} \cdot \dfrac{1}{{10}}\left( {4 + 5 + 6} \right) + {\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{{10}}\left( {7 + 8 + 9} \right) + \cdots+ {\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)^{n - 1}} \cdot \dfrac{1}{{10}}\left( {3n - 2 + 3n - 1 + 3n} \right)\\&= \dfrac{3}{{10}}\left[ {2 + \dfrac{7}{{10}} \cdot 5 + {{\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)}^2} \cdot 8 + \cdots + {{\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)}^{n - 1}} \cdot \left( {3n - 1} \right)} \right],\end{split}\]于是由差比数列求和，得 ${T_n} = 9 - \left( {3n + 9} \right) \cdot {\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)^n}$，因此 $\lim \limits_{n \to +\infty } {T_n} = 9$，平均每个人摇上需要 $9$ 个月．

题目问题1 答案1 解析1 备注1 问题2 答案2 解析2 备注2 问题3 答案3 解析3

$\dfrac{1}{{10}} \cdot 1 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot 2 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1}{8} \cdot 3 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{1}{{10}} \cdot 4 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{1}{9} \cdot 5 + \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{9}{{10}} \cdot \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{1}{8} \cdot 6 + \cdots $<br/>令\[\begin{split}{T_n}& = \dfrac{1}{{10}}\left( {1 + 2 + 3} \right) + \dfrac{7}{{10}} \cdot \dfrac{1}{{10}}\left( {4 + 5 + 6} \right) + {\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)^2} \cdot \dfrac{1}{{10}}\left( {7 + 8 + 9} \right) + \cdots+ {\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)^{n - 1}} \cdot \dfrac{1}{{10}}\left( {3n - 2 + 3n - 1 + 3n} \right)\\&= \dfrac{3}{{10}}\left[ {2 + \dfrac{7}{{10}} \cdot 5 + {{\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)}^2} \cdot 8 + \cdots + {{\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)}^{n - 1}} \cdot \left( {3n - 1} \right)} \right],\end{split}\]于是由差比数列求和，得 ${T_n} = 9 - \left( {3n + 9} \right) \cdot {\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right)^n}$，因此 $\lim \limits_{n \to +\infty } {T_n} = 9$，平均每个人摇上需要 $9$ 个月．