定义在 $\mathbb R$ 上的可导函数 $f(x)$ 满足 $\left(x-314\right)f(2x)-2xf'(2x)>0$ 恒成立，求证：对任何实数 $x$，函数 $f(x)$ 的函数值均取负值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
原式可变形为$$\left(-\dfrac 12x+314\right)f(x)+xf'(x)<0.$$令函数 $F(x)={\rm e}^{-\frac 12x}\cdot x^{314}\cdot f(x)$，则其导函数$$F'(x)={\rm e}^{-\frac 12x}\cdot x^{313}\cdot \left[\left(-\frac 12x+314\right)f(x)+xf'(x)\right].$$根据题意$$\forall x\in{\mathbb R},\left(-\dfrac 12x+314\right)f(x)+xf'(x)<0,$$因此 $F(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增，在 $(0,+\infty)$ 上单调递减．
又因为 $F(0)=0$，所以$$\forall x\in{\mathbb R^*},F(x)<0,$$即 $\forall x\in{\mathbb R^*},f(x)< 0$．
在题设等式中令 $x=0$ 可得 $f(0)<0$．
因此 $\forall x\in{\mathbb R},f(x)<0$．
又因为 $F(0)=0$，所以$$\forall x\in{\mathbb R^*},F(x)<0,$$即 $\forall x\in{\mathbb R^*},f(x)< 0$．
在题设等式中令 $x=0$ 可得 $f(0)<0$．
因此 $\forall x\in{\mathbb R},f(x)<0$．
答案
解析
备注
