在蒲丰投针试验中，平行线间距为 $a$，针长为 $b$，试求针与线相交概率与 $a,b$ 的关系，并求什么情况下概率是 $\dfrac{1}{{\rm{\pi }}}$？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a=2b$
【解析】
用针的中点到与之最近的的线的距离 $x$ 以及平行线与针的夹角 $\theta $ 构成的有序数对 $\left( {x , \theta } \right)$ 表示针的位置．则 $0 \leqslant x \leqslant \dfrac{a}{2}$，$0 \leqslant \theta \leqslant \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}$．此时事件 $A$“针与线相交”即 $x \leqslant \dfrac{b}{2}\sin \theta $，于是$$P\left( A \right) = \dfrac{\displaystyle{{\int_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\dfrac{b}{2}\sin \theta {\rm d}\theta } }}}{{\dfrac{a}{2} \cdot \dfrac{{\rm{\pi }}}{2}}} = \dfrac{{\dfrac{b}{2}}}{{\dfrac{{a{\rm{\pi }}}}{4}}} = \dfrac{{2b}}{{a{\rm{\pi }}}},$$所以当 $a = 2b$ 时，$P\left( A \right) = \dfrac{1}{{\rm{\pi }}}$．
答案
解析
备注
