若有 $n$ 封不同的信放入 $n$ 只写好地址的信封中，完全装错的方法数是多少？
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$n! \cdot \left[ {\dfrac{1}{{2!}} - \dfrac{1}{{3!}} + \dfrac{1}{{4!}} - \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^n}\dfrac{1}{{n!}}} \right]$
【解析】
贝努利装错信笺问题（分贺卡问题）：
$n$ 封信与 $n$ 个信封全部错位的组合数 $f\left( n \right)$．
① $f\left( 2 \right) = 1$，$f\left( 3 \right) = 2$，$f\left( 4 \right) = 9$，$f\left( 5 \right) = 44$；
② 对于一般情形$$f\left( n \right) = {\rm{A}}_n^{n - 2} - {\rm{A}}_n^{n - 3} + {\rm{A}}_n^{n - 4} - \cdots = n! \cdot \left[ {\dfrac{1}{{2!}} - \dfrac{1}{{3!}} + \dfrac{1}{{4!}} - \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^n}\dfrac{1}{{n!}}} \right].$$
$n$ 封信与 $n$ 个信封全部错位的组合数 $f\left( n \right)$．
① $f\left( 2 \right) = 1$，$f\left( 3 \right) = 2$，$f\left( 4 \right) = 9$，$f\left( 5 \right) = 44$；
② 对于一般情形$$f\left( n \right) = {\rm{A}}_n^{n - 2} - {\rm{A}}_n^{n - 3} + {\rm{A}}_n^{n - 4} - \cdots = n! \cdot \left[ {\dfrac{1}{{2!}} - \dfrac{1}{{3!}} + \dfrac{1}{{4!}} - \cdots + {{\left( { - 1} \right)}^n}\dfrac{1}{{n!}}} \right].$$
答案
解析
备注
