解不等式：$\sqrt{x+\dfrac 1{x^2}}-\sqrt{x-\dfrac 1{x^2}}<\dfrac 1x$．
【难度】
【出处】
2011年全国高中数学联赛河北省预赛
【标注】
【答案】
$\left\{x\mid x>\dfrac{\sqrt[3]{10}}{2}\right\}$
【解析】
欲使不等式 $\sqrt{x+\dfrac 1{x^2}}-\sqrt{x-\dfrac 1{x^2}}<\dfrac 1x$ 成立，必须满足条件$$\begin{cases}x+\dfrac 1{x^2}\geqslant 0,\\ x-\dfrac 1{x^2}\geqslant 0,\end{cases}$$即$$\begin{cases}\dfrac{x^3+1}{x^2}\geqslant 0,\\ \dfrac{x^3-1}{x^2}\geqslant 0,\end{cases}$$解得 $x\geqslant 1$．于是原不等式同于解$$\sqrt{x^3+1}-\sqrt{x^3-1}<1.\cdots {\text{ ① }}$$将 ① 式左边分子有理化得$$\dfrac 2{\sqrt{x^3+1}+\sqrt{x^3-1}}<1,$$即$$ \sqrt{x^3+1}+\sqrt{x^3-1}>2.\cdots {\text{ ② }}$$由 ① 变形为$$\sqrt{x^3-1}-\sqrt{x^3+1}>-1.\cdots {\text{ ③ }}$$由 ②③ 两式同向相加得$$\sqrt{x^3-1}>\dfrac 12,$$所以 $x^3>\dfrac 54$，即 $x>\dfrac{\sqrt[3]{10}}{2}$．
答案
解析
备注
