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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=4$，$a_n=-a_{n-1}+4\cdot 3^{n-1}+4$（$n\geqslant 2$），则 \((\qquad)\)
A: $a_n=-2+3^n+(-1)^n$，$S_n=2n-2+\dfrac{3^{n+1}+(-1)^n}2$
B: $a_n=2+3^n+(-1)^n$，$S_n=2n-2+\dfrac{3^{n+1}+(-1)^n}2$
C: $a_n=2+3^n-(-1)^n$，$S_n=2n-2+\dfrac{3^{n+1}+(-1)^n}2$
D: $a_n=2+3^n+(-1)^n$，$S_n=-2n+2+\dfrac{3^{n+1}+(-1)^n}2$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    数列的通项公式
    >
    求数列通项的累加(乘)法
  • 题型
    >
    数列
    >
    求数列的通项公式
  • 题型
    >
    数列
    >
    数列求和
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的前n项和
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等差数列及其性质
    >
    等差数列的前n项和
【答案】
B
【解析】
根据题意，有\[(-1)^na_n=(-1)^{n-1}a_{n-1}-4\cdot (-3)^{n-1}+4\cdot (-1)^n,\]于是\[(-1)^na_n=-a_1-4\cdot \left[(-3)^{n-1}-1\right]\cdot \dfrac 34+4\left[(-1)^{n-1}-1\right]\cdot \left(-\dfrac 12\right),\]整理得\[a_n=2+3^n+(-1)^n.\]进而\[S_n=2n+\left(3^n-1\right)\cdot \dfrac 32+\left[(-1)^n-1\right]\cdot \dfrac 12,\]整理得\[S_n=2n-2+\dfrac{3^{n+1}+(-1)^n}2.\]
题目 答案 解析 备注
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