某公司有 $10$ 万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利 $10\%$，可能损失 $10\%$，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为 $\dfrac 12,\dfrac 14,\dfrac 14$；如果投资乙项目，一年后可能获利 $20\%$，也可能损失 $20\%$，这两种情况发生的概率分别为 $\alpha$ 和 $\beta$（$\alpha +\beta =1$）．
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
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如果把 $10$ 万元投资甲项目，用 $\xi$ 表示投资收益（收益=回收资金-投资资金），求 $\xi$ 的概率分布及 $E(\xi)$；标注答案$\xi$ 的分布列为 $\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\xi&1&0&-1\\ \hline
p&\dfrac 12 &\dfrac 14&\dfrac 14 \\ \hline
\end{array}$；$E(\xi)=\dfrac 14$解析依题意，$\xi$ 的可能取值为 $1,0,-1$．
$\xi$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline
\xi&1&0&-1\\ \hline
p&\dfrac 12 &\dfrac 14&\dfrac 14 \\ \hline
\end{array}\]所以 $E(\xi)=\dfrac 12 -\dfrac 14 =\dfrac 14$． -
若把 $10$ 万元投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求 $\alpha $ 的取值范围．标注答案$\left[\dfrac{9}{16},1\right]$解析设 $\eta $ 表示 $10$ 万元投资乙项目的收益，则 $\eta$ 的分布列为\[\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\eta&2&-2\\ \hline
p&\alpha &\beta\\ \hline \end{array}\]则$$E(\eta)=2\alpha -2\beta=4\alpha -2.$$依题意要求$$4\alpha -2\geqslant \dfrac 14,$$所以 $\dfrac{9}{16}\leqslant \alpha \leqslant 1$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
