已知 $a=\left(\dfrac{-1+\sqrt 5}2\right)^{-10}+\left(\dfrac{-1-\sqrt 5}2\right)^{-10}$，$b=\left(\dfrac{-1+\sqrt 5}2\right)^{10}+\left(\dfrac{-1-\sqrt 5}2\right)^{10}$，则点 $P(a,b)$ 的坐标为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
D
【解析】
记 $\alpha=\dfrac{-1+\sqrt 5}2$，$\beta=\dfrac{-1-\sqrt 5}2$，于是\[\alpha+\beta=-1,\alpha\cdot\beta=-1,\]据此构造递推公式\[x_{n+2}=-x_{n+1}+x_n,n\in\mathbb Z,\]其中 $x_0=2$，$x_1=-1$．这样就有\[\begin{array}{c|ccccccccccc}\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
x_n&2&-1&3&-4&7&-11&18&-29&47&-76&123\\ \hline
\end{array}\]且\[\begin{array}{c|cccccccccccc}\hline
n&1&0&-1&-2&-3&-4&-5&-6&-7&-8&-9&-10\\ \hline
x_n&-1&2&1&3&4&7&11&18&29&47&76&123\\ \hline
\end{array}\]于是\[a=b=123.\]
n&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
x_n&2&-1&3&-4&7&-11&18&-29&47&-76&123\\ \hline
\end{array}\]且\[\begin{array}{c|cccccccccccc}\hline
n&1&0&-1&-2&-3&-4&-5&-6&-7&-8&-9&-10\\ \hline
x_n&-1&2&1&3&4&7&11&18&29&47&76&123\\ \hline
\end{array}\]于是\[a=b=123.\]
题目
答案
解析
备注
