已知椭圆 $\dfrac {x^2}{9}+\dfrac {y^2}{4}=1$，过定点 $P(0,3)$ 的直线与椭圆交于两点 $A,B$（$A,B$ 可以重合），求 $\dfrac {PA}{PB}$ 的取值范围．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac 15,5\right ]$
【解析】
设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$\overrightarrow {AP}=\lambda \overrightarrow {PB}$，则 $\dfrac {PA}{PB}=-\lambda$．于是$$P\left(\dfrac {x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },\dfrac {y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\right ) =(0,3),$$于是$$ x_1+\lambda x_2=0,y_1+\lambda y_2=3(1+\lambda ).$$又因为点 $A,B$ 在椭圆上，所以有$$\dfrac {x_1^2}{9}+\dfrac {y_1^2}{4}=1,\dfrac {\lambda ^2x_2^2}{9}+\dfrac {\lambda ^2y_2^2}{4}=\lambda ^2,$$两式相减得$$\dfrac {(x_1+\lambda x_2)(x_1-\lambda x_2)}{9}+ \dfrac {(y_1+\lambda y_2)(y_1-\lambda y_2)}{4}=1-\lambda ^2,$$将条件代入整理得$$y_1-\lambda y_2=\dfrac 43(1-\lambda ),$$进而解得$$y_1=\dfrac {3(1+\lambda )+\dfrac 43(1-\lambda )}{2}=\dfrac {13}{6}+\dfrac 56\lambda \in [-2,2].$$因此解得 $\lambda $ 的取值范围为 $\left[-5,-\dfrac 15\right ]$，于是 $\dfrac {PA}{PB}$ 的取值范围为 $\left[\dfrac 15,5\right ]$．
答案
解析
备注
