已知 $M$ 为直线 $y=\dfrac 12 x$ 与椭圆 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 在第一象限内的交点，直线 $l$ 与 $OM$ 平行且与椭圆交于 $A,B$ 两点．求证直线 $MA$、直线 $MB$ 与 $x$ 轴围成的三角形是等腰三角形．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图．
将椭圆 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 通过仿射变换$$\begin{cases}x=x'\\ y=2y'\end{cases}$$变成圆 $x'^2+y'^2=8$，则 $M'(2,2)$．
过 $M'$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$，交圆 $x'^2+y'^2=8$ 于点 $N$，则易知 $N(2,-2)$，所以$$OM'\perp ON,$$又 $OM'\parallel A'B'$，所以$$ON\perp A'B'.$$根据垂径定理，有 $N$ 平分弧 $A'B'$，于是 $M'N$ 是 $\angle{A'M'B'}$ 的平分线．于是$$k_{MP}=2k_{M'P}=2k_{M'Q}=2k_{MQ},$$又$$MH\perp PQ,$$所以 $\triangle{MPQ}$ 是等腰三角形，证毕．
将椭圆 $\dfrac{x^2}{8}+\dfrac{y^2}{2}=1$ 通过仿射变换$$\begin{cases}x=x'\\ y=2y'\end{cases}$$变成圆 $x'^2+y'^2=8$，则 $M'(2,2)$．过 $M'$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $H$，交圆 $x'^2+y'^2=8$ 于点 $N$，则易知 $N(2,-2)$，所以$$OM'\perp ON,$$又 $OM'\parallel A'B'$，所以$$ON\perp A'B'.$$根据垂径定理，有 $N$ 平分弧 $A'B'$，于是 $M'N$ 是 $\angle{A'M'B'}$ 的平分线．于是$$k_{MP}=2k_{M'P}=2k_{M'Q}=2k_{MQ},$$又$$MH\perp PQ,$$所以 $\triangle{MPQ}$ 是等腰三角形，证毕．
答案
解析
备注
