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一学生解方程\[{\log_2}\left(x^{12}+3x^{10}+5x^8+3x^6+1\right)=1+{\log_2}(x^4+1),\]经历 $t=x^2$ 换元变形后得到\[t^6+3t^5+5t^4+3t^3-2t^2-1=0,\]为求解，他判断出方程无有理根．利用二分法，发现两个零点 $t_1,t_2$ 且 $t_1\in (0,1)$，$t_2\in (-2,-1)$，他决定追踪之并分解因式，得到\[\begin{array} {c|cccccccccccc}\hline
t&0&1&0.5&0.75&0.625&0.562&0.593&0.609&0.617&0.621&0.619&0.618\\ \hline
f(t)&-1&9&-0.703&1.613&0.060&-0.401&-0.196&-0.074&-0.009&0.025&0.008&-0.001\\ \hline
\end{array}\]则下列实数中，在关于 $x$ 的方程的解集中的有 \((\qquad)\)
A: $\dfrac{-1+ \sqrt 5}2$
B: $\dfrac{-1-\sqrt 5}2$
C: $\sqrt{\dfrac{1+\sqrt 5}2}$
D: $\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt 5}2}$
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    分解与展开
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的零点
【答案】
D
【解析】
根据列表，猜想关于 $t$ 的方程左侧包含因式 $t^2+t-1$，尝试可得方程为\[\left(t^2+t-1\right)\left(t^4+2t^3+4t^2+t+1\right)=0,\]而\[t^4+2t^3+4t^2+t+1=t^2(t+1)^2+3t^2+t+1>0,\]于是该方程的零点为\[t=\dfrac{-1\pm \sqrt 5}2.\]因此关于 $x$ 的方程的解为\[x=\sqrt{\dfrac{-1+\sqrt 5}2}.\]
题目 答案 解析 备注
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