已知椭圆 $\Gamma$ 的方程为 $\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，点 $P$ 的坐标为 $(-a,b)$．
【难度】
【出处】
2010年高考上海卷（理）
【标注】
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若直角坐标平面上的点 $M,A(0,-b),B(a,0)$ 满足 $\overrightarrow{PM}=\dfrac 12\left(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}\right)$，求 $M$ 的坐标；标注答案$\left(\dfrac a2,-\dfrac b2\right )$解析由向量的知识知 $M$ 为 $AB$ 的中点，所以 $M$ 的坐标为 $\left(\dfrac a2,-\dfrac b2\right )$；
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设直线 $l_1:y=k_1x+p$ 交椭圆 $\Gamma$ 于 $C,D$ 两点，交直线 $l_2:y=k_2x$ 于点 $E$．若 $k_1k_2=-\dfrac {b^2}{a^2}$，证明：$E$ 是 $CD$ 的中点；
标注答案略解析作仿射变换 $\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{b}{a}y',\end{cases}$ 将椭圆的方程变成圆的方程 $x'^2+y'^2=a^2.$ 此时有$$k_1'\cdot k_2'=\dfrac {a}{b}k_1\cdot\dfrac{a}{b}k_2=-1,$$所以 $C'D'\perp O'E'$，根据垂径定理，$E'$ 是弦 $C'D'$ 的中点，于是 $E$ 是 $CD$ 的中点． -
对于椭圆 $\Gamma$ 上的点 $Q(a\cos\theta,b\sin\theta)$（$0<\theta<\pi$），如果椭圆 $\Gamma$ 上存在不同的两点 $P_1,P_2$ 使 $\overrightarrow {PP_1}+\overrightarrow {PP_2}=\overrightarrow {PQ}$，写出求作点 $P_1,P_2$ 的步骤，并求出使 $P_1,P_2$ 存在的 $\theta$ 的取值范围．标注答案$\left(0,\dfrac {\pi}{4}+\arcsin{\dfrac {\sqrt 2}{4}}\right)$解析分析条件 $\overrightarrow {PP_1}+\overrightarrow {PP_2}=\overrightarrow {PQ}$，这表示要在椭圆上作出两点 $P_1,P_2$，使得线段 $P_1P_2$ 与 $PQ$ 互相平分．在椭圆上直接作图并不容易，但可以转化到圆上，利用垂径定理作图找到对应的 $P'_1,P_2'$，再对应回来即可．作图步骤如下：
① 以 $O$ 为圆心，椭圆的长半轴长 $a$ 为半径作圆；
② 过 $O$ 作射线，使 $Ox$ 轴正方向到该射线的角为 $\theta$，射线交圆于 $Q'$；
③ 过圆与 $y$ 轴正半轴的交点作 $y$ 轴的垂线，过圆与 $x$ 轴负半轴的交点作 $x$ 轴的垂线，两条垂线交于点 $P'$；
④ 连接 $P'Q'$，取其中点 $M'$；
⑤ 连接 $OM'$，过 $M'$ 作与 $OM'$ 垂直的直线，交圆于 $P'_1,P_2'$；
⑥ 过点 $P'_1,P_2'$ 作 $x$ 轴的垂线，交椭圆于 $x$ 轴上方的点 $P_1,P_2$．
因为 $M'$ 是 $P'Q'$ 与 $P'_1P'_2$ 的中点，所以 $M$ 为 $PQ$ 与 $P_1P_2$ 的中点，故 $P_1,P_2$ 即为所求．下面我们来求 $\theta$ 的范围．根据作图步骤，我们知道要想作出 $P_1,P_2$，需要点 $M'$ 在圆内，$M'$ 为 $P'(-a,a)$ 与 $Q'(a\cos\theta,a\sin\theta)$ 的中点，于是有$$\left(\dfrac {-a+a\cos\theta}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a+a\sin\theta}{2}\right)^2<a^2,$$化简得$$\sin\left(\theta-\dfrac {\pi}{4}\right)<\dfrac {\sqrt 2}{4},$$从而得到 $\theta$ 的取值范围为 $\left(0,\dfrac {\pi}{4}+\arcsin{\dfrac {\sqrt 2}{4}}\right)$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
问题3
答案3
解析3
备注3
