已知 $M(m,0),N(n,0)$ 是椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的长轴上的两个定点，椭圆的弦 $AB$ 恒过点 $M$，直线 $AN,BN$ 分别与椭圆 $E$ 交于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，求证：直线 $CD$ 的斜率与直线 $AB$ 的斜率之比为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $A,B,C,D$ 对应的参数分别为 $2\theta_1,2\theta_2,2\theta_3,2\theta_4$，则根据椭圆参数形式的直线方程，可得\[\tan\theta_1\tan\theta_2=\dfrac{m-a}{m+a},\tan\theta_1\tan\theta_3=\tan\theta_2\tan\theta_4=\dfrac{n-a}{n+a},\]而直线 $CD$ 与直线 $AB$ 的斜率之比为\[\begin{split}
\dfrac{\tan(\theta_1+\theta_2)}{\tan(\theta_3+\theta_4)}&=\dfrac{(\tan\theta_1+\tan\theta_2)(1-\tan\theta_3\tan\theta_4)}{(\tan\theta_3+\tan\theta_4)(1-\tan\theta_1\tan\theta_2)}\\
&=\dfrac{(\tan\theta_1\tan\theta_3\tan\theta_4+\tan\theta_2\tan\theta_3\tan\theta_4)(\tan\theta_1\tan\theta_2-\tan\theta_1\tan\theta_2\tan\theta_3\tan\theta_4)}{(\tan\theta_3+\tan\theta_4)(1-\tan\theta_1\tan\theta_2)\tan\theta_1\tan\theta_2\tan\theta_3\tan\theta_4}\\
&=\dfrac{\dfrac{n-a}{n+a}\cdot\left[\dfrac{m-a}{m+a}-\left(\dfrac{n-a}{n+a}\right)^2\right]}{\left(1-\dfrac{m-a}{m+a}\right)\left(\dfrac{n-a}{n+a}\right)^2}\\
&=\dfrac{a^2+n^2-2mn}{a^2-n^2}.
\end{split}\]
\dfrac{\tan(\theta_1+\theta_2)}{\tan(\theta_3+\theta_4)}&=\dfrac{(\tan\theta_1+\tan\theta_2)(1-\tan\theta_3\tan\theta_4)}{(\tan\theta_3+\tan\theta_4)(1-\tan\theta_1\tan\theta_2)}\\
&=\dfrac{(\tan\theta_1\tan\theta_3\tan\theta_4+\tan\theta_2\tan\theta_3\tan\theta_4)(\tan\theta_1\tan\theta_2-\tan\theta_1\tan\theta_2\tan\theta_3\tan\theta_4)}{(\tan\theta_3+\tan\theta_4)(1-\tan\theta_1\tan\theta_2)\tan\theta_1\tan\theta_2\tan\theta_3\tan\theta_4}\\
&=\dfrac{\dfrac{n-a}{n+a}\cdot\left[\dfrac{m-a}{m+a}-\left(\dfrac{n-a}{n+a}\right)^2\right]}{\left(1-\dfrac{m-a}{m+a}\right)\left(\dfrac{n-a}{n+a}\right)^2}\\
&=\dfrac{a^2+n^2-2mn}{a^2-n^2}.
\end{split}\]
答案
解析
备注
