已知 $\Omega=\{(x,y)\mid 0\leqslant y\leqslant 2-x,0\leqslant x\leqslant 2\}$，$P_i(x_i,y_i)\in\Omega$（$i=1,2,\cdots,11$）并把取得 $11$ 个点分为 $A,B$ 两组，记 $A$ 组中所有点横坐标之和为 $X(A)$，$B$ 组中所有点纵坐标值之和为 $Y(B)$．对任意 $11$ 个点 $P_i(x_i,y_i)\in\Omega$，下面说法正确的有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
B
【解析】
选项 AC 的反例为所有点均为 $(1,1)$；
选项 D 的反例为所有点均为 $(0,0)$；
下面证明选项 B 正确．
不妨设\[0\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_{11}\leqslant 2,\]若\[x_1+x_2+\cdots+x_{11}\leqslant 6,\]则 $B$ 组任取其中一点即可满足．若 $x_1+x_2+\cdots+x_{11}>6$，则必然存在正整数 $k$ 使得\[x_1+x_2+\cdots+x_k\leqslant 6<x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1},\]则有\[6<x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1}\leqslant (k+1)x_{k+1},\]于是\[x_{k+1}\geqslant \dfrac{6}{k+1},\]又\[\begin{split} y_{k+1}+y_{k+2}+\cdots+y_{11}&\leqslant (2-x_{k+1})+(2-x_{k+2})+\cdots+(2-x_{11})\\
&\leqslant (11-k)(2-x_{k+1})\\
&\leqslant (11-k)\cdot \left(2-\dfrac{6}{k+1}\right)\\
&=30-\left[2(k+1)+\dfrac{72}{k+1}\right]\\
&\leqslant 6,\end{split}\]于是必然存在一种分组使得 $X(A)\leqslant 6$ 且 $Y(B)\leqslant 6$．
选项 D 的反例为所有点均为 $(0,0)$；
下面证明选项 B 正确．
不妨设\[0\leqslant x_1\leqslant x_2\leqslant\cdots\leqslant x_{11}\leqslant 2,\]若\[x_1+x_2+\cdots+x_{11}\leqslant 6,\]则 $B$ 组任取其中一点即可满足．若 $x_1+x_2+\cdots+x_{11}>6$，则必然存在正整数 $k$ 使得\[x_1+x_2+\cdots+x_k\leqslant 6<x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1},\]则有\[6<x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1}\leqslant (k+1)x_{k+1},\]于是\[x_{k+1}\geqslant \dfrac{6}{k+1},\]又\[\begin{split} y_{k+1}+y_{k+2}+\cdots+y_{11}&\leqslant (2-x_{k+1})+(2-x_{k+2})+\cdots+(2-x_{11})\\
&\leqslant (11-k)(2-x_{k+1})\\
&\leqslant (11-k)\cdot \left(2-\dfrac{6}{k+1}\right)\\
&=30-\left[2(k+1)+\dfrac{72}{k+1}\right]\\
&\leqslant 6,\end{split}\]于是必然存在一种分组使得 $X(A)\leqslant 6$ 且 $Y(B)\leqslant 6$．
题目
答案
解析
备注
