设 $AB$ 是抛物线 $y^2=2px$（$p>0$）的焦点弦，抛物线在 $A,B$ 处的切线交于点 $P$，求证：$P$ 点在抛物线的准线上，且 $PA\perp PB$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
设 $A(2pa^2,2pa)$，$B(2pb^2,2pb)$，则根据抛物线的几何平均性质，可得\[ab=-\dfrac 14,\]根据抛物线的算术平均性质，可得 $P$ 点坐标为 $(2pab,p(a+b)))$，于是 $P$ 点在抛物线的准线上．此时\[\begin{split}\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}&=(2pa(a-b),p(a-b))\cdot (2pb(b-a),p(b-a))\\
&=-4p^2ab(a-b)^2-p^2(a-b)\\
&=0,\end{split}\]因此 $PA\perp PB$．
&=-4p^2ab(a-b)^2-p^2(a-b)\\
&=0,\end{split}\]因此 $PA\perp PB$．
答案
解析
备注
