证明下列函数图象均为双曲线：
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
反比例函数 $y=\dfrac mx$（$m\ne 0$）；标注答案略解析只需要证明 $m>0$ 的情形．此时实轴顶点坐标为 $\left(-\sqrt m,-\sqrt m\right)$ 和 $\left(\sqrt m,\sqrt m\right)$，于是焦点坐标分别为 $F_1\left(\sqrt {2m},\sqrt {2m}\right)$ 和 $F_2\left(-\sqrt {2m},-\sqrt {2m}\right)$．设 $P\left(x,\dfrac mx\right)$ 是函数 $y=\dfrac mx$ 上任意一点，由对称性，不妨设 $x>0$，从而\[\begin{split}|PF_1|-|PF_2|&=\sqrt{\left(x+\sqrt {2m}\right)^2+\left(\dfrac mx+\sqrt {2m}\right)^2}-\sqrt{\left(x-\sqrt {2m}\right)^2+\left(\dfrac mx-\sqrt {2m}\right)^2}\\
&=\left|x+\dfrac mx+\sqrt {2m}\right|-\left|x+\dfrac mx-\sqrt {2m}\right|\\
&=2\sqrt {2m},\end{split}\]于是命题得证． -
对勾函数 $y=ax+\dfrac bx$（$ab\neq 0$）．标注答案略解析利用双曲线上的点到中心的距离的最小值为实半轴长，设 $P\left(x,ax+\dfrac bx\right)$ 是曲线上一点，则\[OP^2=x^2+\left(ax+\dfrac bx\right)^2=\left(a^2+1\right)x^2+\dfrac{b^2}{x^2}+2ab\geqslant 2b\sqrt{a^2+1}+2ab,\]于是可以确定双曲线的实半轴长为 $2b\sqrt{a^2+1}+2ab$．但是继续确定焦点坐标的运算量太大．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
