证明下列函数图象均为双曲线：
【难度】
【出处】
无
【标注】
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反比例函数 $y=\dfrac mx$（$m\ne 0$）；标注答案略解析只需要证明 $m>0$ 的情形．此时实轴顶点坐标为 $\left(-\sqrt m,-\sqrt m\right)$ 和 $\left(\sqrt m,\sqrt m\right)$，于是焦点坐标分别为 $F_1\left(\sqrt {2m},\sqrt {2m}\right)$ 和 $F_2\left(-\sqrt {2m},-\sqrt {2m}\right)$．设 $P\left(x,\dfrac mx\right)$ 是函数 $y=\dfrac mx$ 上任意一点，由对称性，不妨设 $x>0$，从而\[\begin{split}|PF_1|-|PF_2|&=\sqrt{\left(x+\sqrt {2m}\right)^2+\left(\dfrac mx+\sqrt {2m}\right)^2}-\sqrt{\left(x-\sqrt {2m}\right)^2+\left(\dfrac mx-\sqrt {2m}\right)^2}\\
&=\left|x+\dfrac mx+\sqrt {2m}\right|-\left|x+\dfrac mx-\sqrt {2m}\right|\\
&=2\sqrt {2m},\end{split}\]于是命题得证． -
对勾函数 $y=ax+\dfrac bx$（$ab\neq 0$）．标注答案略解析只需要将方程 $y=ax+\dfrac bx$ 变形为\[\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}=e\cdot \dfrac{|Ax+Bx+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]的形式即可．事实上，原方程即\[\dfrac{xy}a=x^2+\dfrac ba,\]即\[A^2x^2+\dfrac{xy}a+B^2y^2=\left(A^2+1\right)x^2+B^2y^2+\dfrac ba,\]其中 $A,B$ 满足\[\begin{cases}A^2+1=B,\\ 2AB=\dfrac 1a,\end{cases}\]于是\[(Ax+By)^2=B^2\left(x^2+y^2+\dfrac b{aB^2}\right),\]即\[(Ax+By+C)^2=B^2\left(x^2+y^2+\dfrac b{aB^2}\right)+2ACx+2BCy+C^2,\]也即\[(Ax+By+C)^2=B^2\left[\left(x+\dfrac{AC}B^2\right)^2+\left(y+\dfrac CB\right)^2-\dfrac{A^2C^2}{B^4}+\dfrac{b}{aB^2}\right],\]令 $\dfrac{b}{aB^2}=\dfrac{A^2C^2}{B^2}$，这样就得到了\[\sqrt{\left(x+\dfrac{AC}B\right)^2+\left(y+\dfrac CB\right)^2}=\dfrac{\sqrt{A^2+B^2}}{|B|}\cdot \dfrac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}},\]这样就证明了结论．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
