证明下列函数图象均为双曲线：
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
反比例函数 $y=\dfrac mx$（$m\ne 0$）；标注答案略解析只需要证明 $m>0$ 的情形．此时实轴顶点坐标为 $\left(-\sqrt m,-\sqrt m\right)$ 和 $\left(\sqrt m,\sqrt m\right)$，于是焦点坐标分别为 $F_1\left(\sqrt {2m},\sqrt {2m}\right)$ 和 $F_2\left(-\sqrt {2m},-\sqrt {2m}\right)$．设 $P\left(x,\dfrac mx\right)$ 是函数 $y=\dfrac mx$ 上任意一点，由对称性，不妨设 $x>0$，从而\[\begin{split}|PF_1|-|PF_2|&=\sqrt{\left(x+\sqrt {2m}\right)^2+\left(\dfrac mx+\sqrt {2m}\right)^2}-\sqrt{\left(x-\sqrt {2m}\right)^2+\left(\dfrac mx-\sqrt {2m}\right)^2}\\
&=\left|x+\dfrac mx+\sqrt {2m}\right|-\left|x+\dfrac mx-\sqrt {2m}\right|\\
&=2\sqrt {2m},\end{split}\]于是命题得证． -
对勾函数 $y=ax+\dfrac bx$（$ab\neq 0$）．标注答案略解析首先证明双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上的任意一点到其渐近线的距离的乘积为定值．事实上，该定值为\[\dfrac{|bx+ay|\cdot |bx-ay|}{a^2+b^2}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}.\]进而到两条相交直线距离之积为定值的点的轨迹为双曲线，而函数 $y=ax+\dfrac bx$ 上的点 $\left(x,ax+\dfrac bx\right)$ 到直线 $x=0$ 和 $y=ax$ 的距离之积为\[|x|\cdot \dfrac{\left|\dfrac bx\right|}{a^2+1}=\dfrac{|b|}{a^2+1}\]为定值，这样就证明了结论．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
