求证：双曲线 $H:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a,b>0$）上任意一点到其两条渐近线的距离之积为定值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
如图．
双曲线 $H$ 的两条渐近线分别为 $bx-ay=0$ 和 $bx+ay=0$，于是其上任意一点 $P(x,y)$ 到两条渐近线的距离之积为\[\dfrac{|bx-ay|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \dfrac{|bx+ay|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{a^2b^2\left|\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\right|}{a^2+b^2}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},\]为定值．因此原命题得证．
双曲线 $H$ 的两条渐近线分别为 $bx-ay=0$ 和 $bx+ay=0$，于是其上任意一点 $P(x,y)$ 到两条渐近线的距离之积为\[\dfrac{|bx-ay|}{\sqrt{a^2+b^2}}\cdot \dfrac{|bx+ay|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\dfrac{a^2b^2\left|\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}\right|}{a^2+b^2}=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},\]为定值．因此原命题得证．
答案
解析
备注
