已知 $A,B$ 为椭圆 $C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右顶点，$P$ 是椭圆上异于 $A,B$ 的动点，直线 $AP$ 与椭圆在 $B$ 处的切线交于点 $D$，当直线 $AP$ 绕 $A$ 转动时，试判断以 $BD$ 为直径的圆与直线 $PF$ 的位置关系，并加以证明．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
相切
【解析】
只需要判断 $\angle PFM$ 与 $\angle MEB$ 的大小即可．\[\dfrac{\cos\angle PFM}{\cos\angle MFB}=\dfrac{\dfrac{\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FM}}{\left|\overrightarrow{FP}\right|\cdot \left|\overrightarrow{FM}\right|}}{\dfrac{\left|\overrightarrow{FB}\right|}{\left|\overrightarrow{MF}\right|}}=\dfrac{\overrightarrow{FP}\cdot \overrightarrow{FM}}{\left|\overrightarrow{FP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{FB}\right|}=\dfrac{(1,m)\cdot (x-1,y)}{2-\dfrac{1}{2}x}=\dfrac{x+my-1}{2-\dfrac{1}{2}x}.\]根据椭圆的斜率积定义有\[\dfrac{2m}{4}\cdot \dfrac{y}{x-2}=-\dfrac{3}{4},\]所以 $my=-\dfrac{3}{2}x+3$，带入上式中，有\[\cos\angle PFM=\cos\angle MFB,\]所以 $\angle PFM=\angle MFB$，也就是说以 $BD$ 为直径的圆与直线 $PF$ 始终相切．
答案
解析
备注
