已知椭圆 $G:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 过点 $A\left(1,\dfrac{\sqrt 6}3\right)$ 和 $B(0,-1)$．
【难度】
【出处】
无
【标注】
-
求椭圆 $G$ 的方程；标注答案$\dfrac{x^2}3+y^2=1$解析椭圆 $G$ 的方程为 $\dfrac{x^2}3+y^2=1$；
-
设过点 $P\left(0,\dfrac 32\right)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $G$ 交于 $M,N$ 两点，且 $BM=BN$．求直线 $l$ 的方程．标注答案$y=\pm\dfrac{\sqrt 6}3x+\dfrac 32$解析如图，设弦 $MN$ 的中点 $E$ 的坐标为 $(m,n)$，连接 $OE$，$BE$．
由椭圆的“垂径定理”与已知条件，有$$k_{BE}\cdot k_{PE}=-1,k_{OE}\cdot k_{PE}=-\dfrac 13,$$于是$$\dfrac{n+1}{m}\cdot\dfrac{n-\dfrac 32}{m-0}=-1,\dfrac{n}{m}\cdot\dfrac{n-\dfrac 32}{m}=-\dfrac 13,$$解得$$m=\pm\dfrac{\sqrt 6}2,n=\dfrac 12,$$于是直线 $l$ 的方程为 $y=\pm\dfrac{\sqrt 6}3x+\dfrac 32$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
