已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）上有 $n$（$n\geqslant 3$）个点 $P_{i}(i=1,2,3\cdots,n)$，$F,l$ 分别为椭圆的左焦点和左准线．若 $\angle P_{i}FP_{i+1}=\dfrac{2\pi}{n}(i=1,2,3,\cdots,n-1)$，点 $P_{i}$ 到 $l$ 的距离记为 $d_{i}(i=1,2,3,\cdots,n)$，求证：$\dfrac{1}{d_{1}}+\dfrac{1}{d_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{d_{n}}$ 为常数（与 $P_{i}$ 的位置无关）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
略
【解析】
建立极坐标系，设椭圆的方程为\[\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta},\]点 $P_{i}$ 对应的极坐标设为 $(\theta_{i}:\rho_{i})$，其中 $i=1,2,3,\cdots,n$，则 $\dfrac{\rho_{i}}{d_{i}}=e$，所以\[\begin{split}\dfrac{1}{d_{1}}+\dfrac{1}{d_{2}}+\cdots+\dfrac{1}{d_{n}}&=e\left(\dfrac{1-e\cos\theta_{1}}{ep}+\dfrac{1-e\cos\theta_{2}}{ep}+\cdots+\dfrac{1-e\cos\theta_{n}}{ep}\right)\\&=\dfrac{1}{p}\left[n-e(\cos\theta_{1}+\cos\theta_{2}+\cdots+\cos\theta_{n})\right]\\&=\dfrac{n}{p}.\end{split}\]
答案
解析
备注
