已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 和圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$．当 $r$ 在 $[a,b]$ 上变化时椭圆与圆存在公切线 $l$，设 $l$ 与椭圆和圆的交点分别为 $A,B$，求线段 $AB$ 长度的最大值．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$a-b$
【解析】
设 $A$ 点坐标为 $A(x_{0},y_{0})$，则过点 $A$ 的切线的方程为 $\dfrac{x_0x}{a^{2}}+\dfrac{y_0y}{b^{2}}=1$．于是公切线 $l$ 的方程满足\[\dfrac{1}{\sqrt{\left(\dfrac{x_{0}}{a^{2}}\right)^{2}+\left(\dfrac{y_{0}}{b^{2}}\right)^{2}}}=r,\]也即 $\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{4}}+\dfrac{y_{0}^{2}}{b^{4}}=\dfrac{1}{r^{2}}$．因此线段 $AB$ 的长度 $|AB|$ 满足\[|AB|^{2}=|OA|^{2}-|OB|^{2}=(x_0^{2}+y_{0}^{2})-r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-\dfrac{1}{\dfrac{x_{0}^{2}}{a^{4}}+\dfrac{y_{0}^{2}}{b^{4}}},\]设 $x_{0}=a\cos\theta $，$y_{0}=b\sin\theta$，则\[\begin{split}|AB|^{2}&=a^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta-\dfrac{1}{\dfrac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\dfrac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}}\\&=a^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta-\dfrac{a^{2}b^{2}}{b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta}\end{split}\]注意到\[\left(a^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta\right)+\left(b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta\right)=a^{2}+b^{2}\]为定值，于是设 $b^{2}\cos^{2}\theta+a^{2}\sin^{2}\theta=m$（显然 $b^{2}\leqslant m\leqslant a^{2}$），则$$a^{2}\cos^{2}\theta+b^{2}\sin^{2}\theta=a^{2}+b^{2}-m.$$因此\[\begin{split}|AB|^{2}&=a^{2}+b^{2}-m-\dfrac{a^{2}b^{2}}{m}\\&=a^{2}+b^{2}-\left(m+\dfrac{a^{2}b^{2}}{m}\right)\\&\leqslant a^{2}+b^{2}-2\sqrt{m\cdot \dfrac{a^{2}b^{2}}{m}}\\&=(a-b)^{2}.\end{split}\]所以线段 $AB$ 长度 $|AB|$ 的最大值为 $a-b$．
答案
解析
备注
