已知两条直线 $l_1,l_2$ 相交于点 $O$，点 $A$ 在直线 $l_1$ 上运动，点 $B$ 在直线 $l_2$ 上运动，且线段 $AB$ 的长为定值 $2m$，求 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$k^2x^2+\dfrac{y^2}{k^2}=m^2$
【解析】
如图建系，设 $l_1,l_2$ 的夹角为 $2\theta$，$k=\tan\theta$，直线 $OA$ 和直线 $OB$ 的方程分别为 $y=kx$ 和 $y=-kx$．
设 $A(a,ka)$，$B(b,-kb)$，$M(x,y)$，则$$2x=a+b,2y=k(a-b),$$代入$$(a-b)^2+k^2(a+b)^2=(2m)^2$$中，可得$$\dfrac{4y^2}{k^2}+4k^2x^2=4m^2,$$即$$k^2x^2+\dfrac{y^2}{k^2}=m^2.$$
设 $A(a,ka)$，$B(b,-kb)$，$M(x,y)$，则$$2x=a+b,2y=k(a-b),$$代入$$(a-b)^2+k^2(a+b)^2=(2m)^2$$中，可得$$\dfrac{4y^2}{k^2}+4k^2x^2=4m^2,$$即$$k^2x^2+\dfrac{y^2}{k^2}=m^2.$$
答案
解析
备注
