已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 的右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交椭圆与 $P,Q$ 两点．
【难度】
【出处】
无
【标注】
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设 $G$ 为直线 $l$ 上的任意一点，直线 $PG,FG,QG$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3$，求证：$k_1,k_2,k_3$ 成等差数列；标注答案略解析设 $PQ:x=my+1$，$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，$G(2,t)$．联立直线 $PQ$ 与椭圆 $E$ 的方程，有\[(m^2+2)y^2+2my-1=0,\]于是\[y_1+y_2=-\dfrac{2m}{m^2+2},y_1y_2=-\dfrac{1}{m^2+2},\]因此直线 $PG$ 与直线 $QG$ 的斜率之和\[\begin{split}
k_1+k_3&=\dfrac{y_1-t}{x_1-2}+\dfrac{y_2-t}{x_2-2}\\
&=\dfrac{y_1-t}{my_1-1}+\dfrac{y_2-t}{my_2-1}\\
&=\dfrac{2my_1y_2-(mt+1)(y_1+y_2)+2t}{m^2y_1y_2-m(y_1+y_2)+1}\\
&=\dfrac{2m\cdot (-1)-(mt+1)\cdot (-2m)+2t(m^2+2)}{m^2\cdot (-1)-m\cdot (-2m)+m^2+2}\\
&=2t=2k_2,
\end{split}\]于是命题得证． -
设 $H\left(2,\sqrt 7\right)$ 为直线 $l:x=2$ 上一点，若 $\overrightarrow{HP}$ 与 $\overrightarrow{HQ}$ 的夹角为 $45^\circ$，求直线 $PQ$ 的斜率．标注答案$-\dfrac{\sqrt 7}7$解析根据题意，应用到角公式有$$\left|\dfrac{\dfrac{y_1-\sqrt 7}{my_1-1}-\dfrac{y_2-\sqrt 7}{my_2-1}}{1+\dfrac{y_1-\sqrt 7}{my_1-1}\cdot \dfrac{y_2-\sqrt 7}{my_2-1}}\right|=1,$$即$$\left[(my_1-1)(my_2-1)+(y_1-\sqrt 7)(y_2-\sqrt 7)\right]^2=\left[(my_1-1)(y_2-\sqrt 7)-(my_2-1)(y_1-\sqrt 7)\right]^2,$$整理得$$(9m^2+2\sqrt 7m+15)^2=8(m^2+1)(7m^2-2\sqrt 7m+1),$$令 $t=m+\sqrt 7$，则可整理得$$t^2\left(25t^2-48\sqrt 7t+192\right)=0,$$因此 $m$ 的值为 $-\sqrt 7$，直线 $PQ$ 的斜率为 $-\dfrac{\sqrt 7}7$．
题目
问题1
答案1
解析1
备注1
问题2
答案2
解析2
备注2
