设正整数 $a$ 满足：存在 $x_i\in\mathbb N^{\ast}$（$i=0,1,2,\cdots,10$）使\[a^{x_0}=a^{x_1}+a^{x_2}+\cdots+a^{x_{10}},\]则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT附加学科测试数学部分（二测）
【标注】
【答案】
C
【解析】
不妨设\[x_0>x_1\geqslant x_2\geqslant x_3\cdots \geqslant x_{10},\]则\[a^{x_0}\geqslant a^{x_1+1}=a\cdot a^{x_1},\]于是 $a\leqslant 10$．考虑模 $2$ 的余数，显然 $a$ 只能是偶数．考虑到\[\begin{split}
2^{10}&=2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^1,\\
4^4&=4^3+4^3+4^3+4^2+4^2+4^2+4^1+4^1+4^1+4^1,\\
10^2&=10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1,\end{split}\]接下来考虑 $a=6,8$ 的情形．此时必然有 $x_0=x_1+1$，进而\[x_a\leqslant x_1-1,\]于是\[a^{x_0}=a\cdot a^{x_1}\geqslant (a-1)\cdot a^{x_1}+a\cdot a^{x_a}>a^{x_1}+a^{x_2}+\cdots+a^{x_{10}},\]矛盾．因此所有符合题意的 $a$ 的取值为 $2,4,10$．
2^{10}&=2^9+2^8+2^7+2^6+2^5+2^4+2^3+2^2+2^1+2^1,\\
4^4&=4^3+4^3+4^3+4^2+4^2+4^2+4^1+4^1+4^1+4^1,\\
10^2&=10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1+10^1,\end{split}\]接下来考虑 $a=6,8$ 的情形．此时必然有 $x_0=x_1+1$，进而\[x_a\leqslant x_1-1,\]于是\[a^{x_0}=a\cdot a^{x_1}\geqslant (a-1)\cdot a^{x_1}+a\cdot a^{x_a}>a^{x_1}+a^{x_2}+\cdots+a^{x_{10}},\]矛盾．因此所有符合题意的 $a$ 的取值为 $2,4,10$．
题目
答案
解析
备注
